Matemática discreta Ejemplos

$4 x - 5 y = 14$ , $2 x + 3 y = - 4$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x - 5 y = 14$ .

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Paso 1.1

Suma $5 y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 14 + 5 y$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 14 + 5 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 14 + 5 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{14}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{14}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{14}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{14}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{14}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $14$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$x = \frac{2 (7)}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 4$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + 3 y = - 4$ por $\frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$ .

$2 (\frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}) + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 (\frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}) + 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{7}{2}) + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{7}{2}) + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$7 + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$7 + 2 (\frac{5 y}{2 (2)}) + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$7 + 2 (\frac{5 y}{2 \cdot 2}) + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$7 + \frac{5 y}{2} + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{5 y}{2} + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{5 y}{2} + 3 y = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 + \frac{5 y}{2} + 3 y \cdot \frac{2}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $3 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 + \frac{5 y}{2} + \frac{3 y \cdot 2}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 + \frac{5 y + 3 y \cdot 2}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{5 y + 3 y \cdot 2}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $5 y + 3 y \cdot 2$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$7 + \frac{y \cdot 5 + 3 y \cdot 2}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $3 y \cdot 2$ .

$7 + \frac{y \cdot 5 + y (3 \cdot 2)}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 5 + y (3 \cdot 2)$ .

$7 + \frac{y (5 + 3 \cdot 2)}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{y (5 + 3 \cdot 2)}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$7 + \frac{y (5 + 6)}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Suma $5$ y $6$ .

$7 + \frac{y \cdot 11}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{y \cdot 11}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $11$ a la izquierda de $y$ .

$7 + \frac{11 y}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{11 y}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{11 y}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{11 y}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$7 + \frac{11 y}{2} = - 4$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $7 + \frac{11 y}{2} = - 4$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{11 y}{2} = - 4 - 7$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.1.2

Resta $7$ de $- 4$ .

$\frac{11 y}{2} = - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{11 y}{2} = - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{11}$ .

$\frac{2}{11} \cdot \frac{11 y}{2} = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{2}{11} \cdot \frac{11 y}{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{11} \cdot \frac{11 y}{2} = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{11} \cdot (11 y) = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{1}{11} \cdot (11 y) = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $11$ de $11 y$ .

$\frac{1}{11} \cdot (11 (y)) = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{11} \cdot (11 y) = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{2}{11} \cdot - 11$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $\frac{2}{11} \cdot - 11$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Factoriza $11$ de $- 11$ .

$y = \frac{2}{11} \cdot (11 (- 1))$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{11} \cdot (11 \cdot - 1)$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 \cdot - 1$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = 2 \cdot - 1$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{7}{2} + \frac{5 y}{4}$ por $- 2$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{5 (- 2)}{4}$

$y = - 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{7}{2} + \frac{5 (- 2)}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 10}{4}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 5}{2}$

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 5}{2}$

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 5}{2}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{7}{2} - \frac{5}{2}$

$y = - 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{5}{2}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.3

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 - 5}{2}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.3.2.1

Resta $5$ de $7$ .

$x = \frac{2}{2}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, - 2)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(1, - 2)$

Forma de la ecuación:

$x = 1, y = - 2$

Paso 7